矩阵A的属于特征值 λ 的特征向量 是 齐次线性方程组 (A - λE)X = 0的所有的非零解.
而 齐次线性方程组 (A - λE)X = 0的所有的非零解 可由其基础解系 a1,a2,...,a(n-r) 线性表示.
所以 A的属于特征值 λ 的全部特征向量就是:k1a1,k2a2,...,k(n-r)a(n-r),其中 k1,k2,...,k(n-r)是不全为零的任意常数.这就是你说的需乘k的地方.
若求可逆矩阵P ,使得 P^(-1)AP 为对角矩阵,则求出对应特征值 λ的齐次线性方程组 (A - λE)X = 0的基础解系就可以了.此时特征向量前面不用乘K.