过双曲线x^2/9-y^2/16=1的左焦点F1,做倾斜角45度的弦AB,求AB的长?

2个回答

  • 先求出左焦点F1的坐标为(不写出计算过程了,这很容易):

    (-5,0)

    从而可以写出直线的方程为:

    y=x+5

    现设A点的坐标为(m,n),B点的坐标为(s,t),那么有

    n=m+5,t=s+5

    AB²=(m-s)²+(n-t)²=(m+s)²-2ms+(n+t)²-2nt

    =(m+s)²-2ms+(m+s+10)²-2(m+5)(s+5)

    =(m+s)²-2ms+(m+s)²+20(m+s)+100-2ms-10(m+s)-50

    =2(m+s)²-4ms+10(m+s)+50 …①

    我们又知道,m,s必是下面方程的两个根:

    x^2/9-(x+5)^2/16=1

    整理得

    7x^2-90x-369=0

    从而,由韦达定理可得

    m+s=90/7,ms=-369/7

    把它们代入①式得

    AB²=2×(90/7)²+4×369/7+10×(90/7)+50

    =35282/49

    从而AB=(√35282)/7 完.

    思路应没错,因为√35282开出来不是整数,所以我担心得数是不是有错.若有,请容忍.我不检查了.你主要看一下思路吧.我希望得数也无错.