（1）由y=0得,ax2-2ax-3a=0,
∵a≠0,
∴x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴点A的坐标（-1,0）,点B的坐标（3,0）；
（2）由y=ax2-2ax-3a,
令x=0,得y=-3a,
∴C（0,-3a）,
又∵y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a,
得D（1,-4a）,
∴DH=1,CH=-4a-（-3a）=-a,
∴-a=1,
∴a=-1,
∴C（0,3）,D（1,4）,
设直线CD的解析式为y=kx+b,
把C、D两点的坐标代入得,
解得,
∴直线CD的解析式为y=x+3；
（3）存在．由（2）得,E（-3,0）,N（-,0）,
∴F（,）,EN=,
作MQ⊥CD于Q,
设存在满足条件的点M（,m）,
则FM=-m,
EF=,
MQ=OM=,
由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE,
∴,
整理得4m2+36m-63=0,
∴m2+9m=,
m2+9m+
∴m1=,m2=-,
∴点M的坐标为M1（,）,M2（,-）.