已知函数f(x)=x2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-λf(x),试问,是否存在实数λ,使得G(x

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  • 解题思路:由f(x)求g(x),再求G(x)解析式,求G(x1)-G(x2)的表达式,最后要变形为因式相乘的形式;根据单调性得出这个式子的正负,从而得出λ的范围,由两个范围取交集可得λ的值.

    g(x)=f[f(x)]=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.

    G(x)=g(x)-λf(x)=x4+2x2+2-λx2-λ=x4+(2-λ)x2+(2-λ),G(x1)-G(x2)=[x14+(2-λ)x12+(2-λ)]-[x24+(2-λ)x22+(2-λ)]=(x1+x2)(x1-x2)[x12+x22+(2-λ)]

    由题设当x1<x2<-1时,(x1+x2)(x1-x2)>0,x12+x22+(2-λ)>1+1+2-λ=4-λ,

    则4-λ≥0,λ≤4当-1<x1<x2<0时,(x1+x2)(x1-x2)>0,x12+x22+(2-λ)<1+1+2-λ=4-λ,

    则4-λ≤0,λ≥4故λ=4.

    点评:

    本题考点: 二次函数的性质.

    考点点评: 本题求参数的值,用函数的单调性定义求解,属于定义的逆用,知单调性来判断差的正负.