Question

X1=a>0,Y1=b>0,Xn+1=(Xn+Yn)/2,Yn+1=(Xn*Yn)^1/2,求证数列Xn,Yn的极限相等

Answer 1

首先证极限的存在性

根据不等式性质,X(n+1)≥Y(n+1) (对于任意n≥1）,所以

X(n+2)=(X(n+1)+Y(n+1))/2≤X(n+1), Y(n+2)=(X(n+1)*Y(n+1))^1/2≥Y(n+1).

所以任意n>2 Y2≤Y3≤...≤Y(n-1)≤Yn≤Xn≤Xn-1≤...≤X3≤X2

所以Xn单调下降有下界,Yn单调上升有上限,所以Xn,Yn都有极限

然后如ls所说,设极限分别是A,B,对Xn+1=(Xn+Yn)/2两边求极限得A=(A+B)/2, 所以A=B