解题思路：（1）根据条件f（2）=0，方程f（x）-1=0有两个相等的实数根，建立等式，求解a，b的值即可；
（2）直接根据函数单调性的定义证明为减函数即可；
（3）作出该函数在x∈[-[1/2]，[3/2]]上的图象，然后，根据图象得到最大值和最小值．
（1）∵函数f（x）=ax2+bx，
∴f（2）=4a+2b=0，①
∵方程f（x）-1=0，得
ax2+bx-1=0有两个相等的实数根．
∴△=b2+4a=0 ②，
联立①②，解得
∴a=-1或a=0（舍），
∴b=2，
∴f（x）=-x2+2x，
∴函数f（x）的解析式：f（x）=-x2+2x．
（2）任设x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=-x1 2+2x1+x22-2x2，
=（x2-x1）[2-（x1+x2）]，
∵1≤x1≤x2，
∴x2-x1＞0，x1+x2＞2，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（3）如图示：
当x=1时，函数有最大值1，
当x=-[1/2]时，函数有最小值-[5/4]．
点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．
考点点评： 本题重点考查了二次函数的图象与性质、数形结合思想等知识．属于中档题．考查比较综合，高考中对二次函数的考查力度有所加大，希望引起足够的重视．