Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx（a、b为常数且a≠0）满足条件：f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x

Answer 1

（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴函数的对称轴为x=1，即 -

b

2a =1

∵方程f（x）=x有等根，∴△=（b-1） ²=0

∴b=1，a=-

1

2

∴ f(x)=-

1

2 x 2 +x ．

（2）∵ f(x)=-

1

2 x 2 +x 的开口向下，对称轴为x=1

∴当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]上为减函数，最大值为u（t）=f（t）=-

1

2 t ²+t

当0＜t＜1时，函数f（x）最大值为u（t）=f（1）=

1

2

当t≤0时，函数f（x）在[t，t+1]上为增函数，最大值为u（t）=f（t+1）=-

1

2 t ²+

1

2

∴ u(t)=

-

1

2 t 2 +t(t≥ 1)

1

2

-

1

2 t 2 +

1

2 (t≤ 0) (0＜t＜1)