设双曲线为x^2/a^2-y^2/b^2=1,由两条渐近线过坐标原点且互相垂直可得a/b=1,即a=b,
所以双曲线又为x^2/a^2-y^2/a^2=1
因为双曲线的右焦点和A点关于直线y=x-1对称,故,右焦点和A点的中点（（1+c）/2,(根号2-1）/2)在直线y=x-1上,就有
（ 根号2-1）/2=(1+c)/2-1,即c=根号2
而c^2=a^2+b^2=2a^2,可得a^2=1,所以双曲线为x^2-y^2=1
联立双曲线和直线y=kx+b,即有（1-k^2)x^2-2kx-b^2-1=0,而两者有两个交点的条件是
（-2k)^2-4(1-k^2)*(-b^2-1)>0,即b^2-(b^2)*(k^2)+1>0且k^2不等于1
设点P（x1,y1）Q（x2,y2),有x1+x2=(2k)/(1-k^2),x1*x2=(-b^2-1)/(1-k^2);
点P和点Q的中点为（2/3,1),即有x1+x2=(2k)/(1-k^2)=2*（2/3),解出k=-2或k=1/2
而Q（2/3,1)在直线PQ上,故y=-2x+7/3或y=(1/2)x+2/3
设点A（x1,y1）,点B(x2,y2）,联立双曲线和直线可得（1/a^2-1)x^2+2x-2=0
存在两个交点的条件是2^2-4（1/a^2-1)(-2)>0,即a属于（0,1）并上（1,2）
x1+x2=2a^2/(a^2-1)……（1）
由向量PA=5／12向量PB可得（x1,y1-1）=(5/12)（x2,y2-1）,即有12x1=5x2……（2） 你看看题目是不是超错了!