（Ⅰ） f′(x)＝
1
x?2x+a＝
?2x2+ax+1
x，
由f'（x）=0，得-2x2+ax+1=0，该方程的判别式△=a2+8＞0，
可知方程-2x2+ax+1=0有两个实数根
a±
a2+8
4，又x＞0，故取x＝
a+
a2+8
4，
当x∈(0，
a+
a2+8
4)时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈(
a+
a2+8
4，+∞)时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
则函数f（x）的单调递增区间是(0，
a+
a2+8
4)；递减区间是(
a+
a2+8
4，+∞)．
（Ⅱ）不妨设x1＞x2≥1，不等式
f(x1)?f(x2)
x1?x2＜2转化为f（x1）-2x1＜f（x2）-2x2，
令φ（x）=f（x）-2x，可知函数φ（x）在区间[1，+∞）上单调递减，故φ'（x）=f'（x）-2≤0恒成立，
故[1/x?2x+a?2≤0恒成立，即a≤2x?
1
x+2恒成立．
当x∈[1，+∞）时，函数y＝2x?
1
x+2单调递增，故当x=1时，函数y＝2x?
1
x+2取得最小值3，则实数a的取值范围是a≤3，则实数a的最大值为3．
（Ⅲ）g'（x）=（1-x）e1-x，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数；当x∈（1，e）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数．可得函数g（x）在区间（0，e]的值域为（0，1]．
令F（x）=f（x）+1，则F′(x)＝f′(x)＝
?2x2+ax+1
x]，
由F'（x）=0，结合（Ⅰ）可知，方程F'（x）=0在（0，∞）上有一个实数根x3，若x3≥e，则F（x）在（0，e]上单调递增，不合题意，
可知F'（x）=0在（0，e]有唯一的解x3＝
a+
a2+8
4，且F（x）在(0，
a+
a2+8
4)上单调递增；在(
a+
a2+8
4，+∞)上单调递减．
因为?x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，所以F（e）≤0，且F（x）max＞1．
由F（e）≤0，即lne-e2+ae+1≤0，解得a≤e?
2
e．
由F（x）max=f（x3）+1＞1，即lnx3?
x23+ax3+1＞1，lnx3?
x23+ax3＞0，
因为?2
x23+ax3+1＝0，所以a＝2x3?
1
x3，代入lnx3?
x23+ax3＞0，得lnx3+
x23?1＞0，
令h（x）=lnx+x2-1，可知函数h（x）在（0，e]上单调递增，而h（1）=0，则h（x3）＞h（1）=0，
所以1＜x3＜e，而a＝2x3?
1
x3在1＜x3＜e时单调递增，可得1＜a＜2e?
1
e，
综上所述，实数a的取值范围是(1，e?
2
e]．