Question

已知 f(x)= a x -1 a x +1 (a＞0，且a≠1) ．

Answer 1

（I）由 y=

a x -1

a x +1 ⇒ a x =

1+y

1-y ⇒x=lo g a

1+y

1-y ，

交换x、y得： y=lo g a

1+x

1-x ，（4分）

又由 a x =

1+y

1-y ＞0⇒y∈(-1，1) ，

∴f ^-1（x）= lo g a

1+x

1-x （-1＜x＜1）；（6分）

（II）由

|-1-a|=3

|5-a|=3 ⇒a=2 ，（8分）

∵f ^-1（x）= lo g 2

1+x

1-x =lo g 2 (-1-

2

x-1 ) 在定义域（-1，1）内单调递增，

∴ f -1 (

1

2x )＜lo g 2

1+x

1-x ⇔ f -1 (

1

2x )＜ f -1 (x) ⇔-1＜

1

2x ＜x＜1 ⇔

x＜-

1

2 或x＞

1

2

-

2

2 ＜x＜0或x＞

2

2

x＜1 ⇔ x∈(-

2

2 ，-

1

2 )∪(

2

2 ，1) ．（12分）