Question

若关于x的方程x^2-2mx+m+6=0有两个实数根α,β,且f(m)=(α-1)^2+(β-1)^2

Answer 1

1、

一元二次方程有两实根,判别式△≥0

(-2m)²-4(m+6)≥0

m²-m-6≥0

(m-3)(m+2)≥0

m≥3或m≤-2

由韦达定理得

α+β=2m αβ=m+6

f(m)=(α-1)²+(β-1)²

=α²-2α+1+β²-2β+1

=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2

=(2m)²-2(m+6)-2·(2m)+2

=4m²-6m-10

y=f(m)的解析式为y=f(m)=4m²-6m-10 (m≥3或m≤-2)

2、

由1、解题过程得函数定义域为(-∞,-2]U[3,+∞)

y=f(m)=4m²-6m-10=4(m -3/4)² -49/4

对称轴m=3/4,函数在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[3,+∞)上单调递增.

m->-∞或m->+∞时,y->+∞,函数没有最大值.

f(-2)=4×(-2)²-6×(-2)-10=18

f(3)=4×3²-6×3-10=8