Question

f在[0,1]上有连续的导函数,f（0）=0,求证 ∫ |f(x)|²dx≤∫ |f′(x)|²dx

Answer 1

f′(x)=lim(x->0) (f(x)-f(0))/(x-0) = lim(x->0) f(x) / x

所以

|f′(x)| = lim(x->0) |f(x)| / |x|

因此,在[0,1]上,|f′(x)| ≤ |f(x)| 当且仅当x=1时,取等

而后,就很显然了,这两个正值被积函数,在积分区间[0,1]上的大小就可知了