解题思路:(1)利用导数研究函数的单调性极值与最值、余弦函数的单调性即可得出;
(2)f(x)≤a在[0,2π]有解,则f(x)min≤a,再利用(1)可得f(x)的单调性,即可得出.
(1)f′(x)=
cosx(2+cosx)−sinx(−sinx)
(2+cosx)2=[2cosx+1
(2+cosx)2,
当2kπ−
2π/3<x<2kπ+
2π
3](k∈Z)时,cosx>−
1
2,可得f′(x)>0;
当2kπ+
2π
3<x<2kπ+
4π
3(k∈Z)时,cosx<−
1
2,即f′(x)<0.
因此函数f(x)的单调递增区间为(2kπ−
2π
3,2kπ+
2π
3)(k∈Z),单调递减区间为(2kπ+
2π
3,2kπ+
4π
3)(k∈Z).
(2)f(x)≤a在[0,2π]有解,则f(x)min≤a,
由(1)可知x∈[0,
2π
3],[
4π
3,2π]递增,x∈[
2π
3,
4π
3]递减,
∴f(x)min=min{f(0),f(
4π
3)},
f(0)=0,f(
4π
3)=−
3
3,
∴a≥−
3
3.
点评:
本题考点: 三角函数中的恒等变换应用.
考点点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、余弦函数的单调性、恒成立问题等价转化方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.