已知函数f(x)=[sinx/2+cosx].

1个回答

  • 解题思路:(1)利用导数研究函数的单调性极值与最值、余弦函数的单调性即可得出;

    (2)f(x)≤a在[0,2π]有解,则f(x)min≤a,再利用(1)可得f(x)的单调性,即可得出.

    (1)f′(x)=

    cosx(2+cosx)−sinx(−sinx)

    (2+cosx)2=[2cosx+1

    (2+cosx)2,

    当2kπ−

    2π/3<x<2kπ+

    3](k∈Z)时,cosx>−

    1

    2,可得f′(x)>0;

    当2kπ+

    3<x<2kπ+

    3(k∈Z)时,cosx<−

    1

    2,即f′(x)<0.

    因此函数f(x)的单调递增区间为(2kπ−

    3,2kπ+

    3)(k∈Z),单调递减区间为(2kπ+

    3,2kπ+

    3)(k∈Z).

    (2)f(x)≤a在[0,2π]有解,则f(x)min≤a,

    由(1)可知x∈[0,

    3],[

    3,2π]递增,x∈[

    3,

    3]递减,

    ∴f(x)min=min{f(0),f(

    3)},

    f(0)=0,f(

    3)=−

    3

    3,

    ∴a≥−

    3

    3.

    点评:

    本题考点: 三角函数中的恒等变换应用.

    考点点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、余弦函数的单调性、恒成立问题等价转化方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.