已知关于x的不等式2x+[2/x−a]≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为(  )

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  • 解题思路:关于x的不等式2x+[2/x−a]≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,即求(2x+[2/x−a])min≥7,将不等式2x+[2/x−a]配凑成基本不等的形式,利用基本不等式求最小值,进而求得a的最小值.

    ∵关于x的不等式2x+[2/x−a]≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,

    ∴(2x+[2/x−a])min≥7,

    ∵x>a,

    ∴y=2x+[2/x−a]=2(x-a)+[2/x−a]+2a≥2

    2(x−a)•

    2

    x−a+2a=4+2a,当且仅当2(x−a)=

    2

    x−a,即x=a+1时取等号,

    ∴(2x+[2/x−a])min=4+2a,

    ∴4+2a≥7,解得,a≥[3/2],

    ∴实数a的最小值为[3/2].

    故选A.

    点评:

    本题考点: 函数恒成立问题;基本不等式.

    考点点评: 本题考查函数的恒成立问题,以及应用基本不等式求最值.对于函数的恒成立问题,一般选用参变量分离的方法进行处理,转化成函数的最值问题.在应用基本不等式求最值的时候,要特别注意不等式取等号的条件.属于基础题.