Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时的解析式为f(x)＝x−2x−1．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据函数的奇偶性的性质即可求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）根据函数f（x）的零点的定义，直接求解即可．

（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x−

2

x−1，

∴当x＜0时，-x＞0，

∴f(x)＝−f(−x)＝−(−x−

2

−x−1)＝x−

2

x+1，

又f（x）的定义域为R，

∴当x=0时，f（x）=0，

综上可得，f(x)＝

x−

2

x−1，x＞0

0，x＝0

x−

2

x+1，x＜0．

（Ⅱ）当x＞0时，令x−

2

x−1＝0，

即x²-x-2=0，

解得x₁=2，x₂=-1（舍去）．

当x=0时，f（x）=0，

∴x=0．

当x＜0时，令x−

2

x+1＝0，

即x²+x-2=0，

解得x₁=-2，x₂=1（舍去），

综上可得，函数f（x）的零点为-2，0，2．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数零点的求出，根据奇偶性求出f（x）的表达式是解决本题的关键．