解题思路：（1）根据函
y＝f(x−
1
2
)
是偶函数可求得二次函数f（x）的对称轴方程，从而可求得b，二次函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），可求c，即可求f（x）的解析式；
（2）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），从而4n2-（2m+1）2=43，由此求得m、n的值，从而得出结论．
（1）因为函数y＝f(x−
1
2)是偶函数，
所以二次函数f（x）=x2+bx+c的对称轴方程为x＝−
1
2，故b=1．----------------------（4分）
又因为二次函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式为f（x）=x2+x+11．-------------------------------------（5分）
（2）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），其中m为正整数，n为自然数，则m2+m+11=n2，从而4n2-（2m+1）2=43，即[2n+（2m+1）][2n-（2m+1）]=43．------------------（9分）
注意到43是质数，且2n+（2m+1）＞2n-（2m+1），2n+（2m+1）＞0，所
以有
2n+(2m+1)＝43
2n−(2m+1)＝1解得
m＝10
n＝11.
因此，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）．（14分）
点评：
本题考点： 二次函数的性质．
考点点评： 本题主要考查二次函数的性质应用，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．