过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程.

3个回答

  • 解题思路:根据圆的特殊性,设圆心为C,则有CM⊥AB,当斜率存在时,kCMkAB=-1,斜率不存在时加以验证.

    设圆x2+y2-6x+5=0的圆心为C,则C的坐标是(3,0),由题意,CM⊥AB,

    ①当直线CM与AB的斜率都存在时,即x≠3,x≠0时,则有kCMkAB=-1,

    ∴[y/x−3×

    y

    x=−1(x≠3,x≠0),

    化简得x2+y2-3x=0(x≠3,x≠0),

    ②当x=3时,y=0,点(3,0)适合题意,

    ③当x=0时,y=0,点(0,0)不适合题意,

    解方程组

    x2+y2−3x=0

    x2+y2−6x+5=0]得x=

    5

    3,y=±

    2

    3

    5,

    ∴点M的轨迹方程是x2+y2-3x=0(

    5

    3<x≤3).

    点评:

    本题考点: 轨迹方程.

    考点点评: 本题主要考查轨迹方程的求解,应注意利用圆的特殊性,同时注意所求轨迹的纯粹性,避免增解.