Question

求幂函数n=1到无穷∑(-1)^(n-1)/n*2^n再*x^n的收敛半径,收敛域及和函数

Answer 1

先求其收敛半径R=[lim(1/n)^(1/n)]^(-1)=1

∴x∈(-1,1)时,有S(x)=∑[(-1)^(n-1)]x^n/n

则S'(x)=∑{[(-1)^n]x^n/n}'=∑[(-1)^(n-1)]x^(n-1)

=∑(-x)^(n-1)=1/(1 x)

∴S(x)=∫S'(x)=ln(1 x),x∈(-1,1)

最后再考虑端点.

显然x=1时,该级数变为Leibniz级数,从而收敛

而x=-1时,该级数为调和级数的-1倍,从而发散

所以综上知S(x)=ln(1 x),x∈(-1,1]