Question

设f（x）∈C[a，b]，在（a，b）内二阶可导，ξ∈（a，b），f″（ξ）＞0．

Answer 1

解题思路：（1）利用连续函数的介值定理进行证明；

（2）构造适当的辅助函数，再利用（1）中的结论进行证明．

（1）

因为：f″（ξ）＞0，且f′（ξ）=0，

所以ξ为函数f（x）的极小值点，

由于f（x）∈C[a，ξ]，所以在[a，ξ]上有最大值f（t₁），

同理，f（x）∈C[ξ，b]，所以在[ξ，b]上有最大值f（t₂），

不妨设f（t₁）≤f（t₂）．

则有f（t₁）＞f（ξ），否则f为常数函数，故有f″=0，与f″（ξ）＞0矛盾．

从而有：t₁＜ξ．

在区间[ξ，b]上，

由连续函数的介值定理可知，存在x₀∈（ξ，b]，使得f（x₀）=f（t₁）．

取x₁=t，x₂=x₀，使得f（x₁）=f（x₂）．

（2）当f′（ξ）≠0时，令g（x）=f（x）-xf′（ξ），则g′（ξ）=0．

从而g符合（1）中的条件，于是存在η₁，η₂∈（a，b）（η₁＜ξ＜η₂），使得g（η₁）=g（η₂），

所以

g(η1)−g(η2)

η1−η2＝0，

即

f(η1)−f(η2)

η1−η2＝f′(ξ)．

点评：

本题考点： 介值定理及其推论的运用．

考点点评： 本题考查了连续函数的介值定理以及应用．介质定理在连续函数的证明中经常用到，是一个重要结论，需要熟练掌握．