Question

已知函数f1（x）=|x-1|，f2（x）=[1/3]x+1，g（x）=f1(x)+f2(x)2+|f1(x)−f2(x

Answer 1

解题思路：由f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=[1/3]x+1，g（x）=

f

1

(x)+

f

2

(x)

2

+

|

f

1

(x)−

f

2

(x)|

2

分段求出g（x），分析其单调性，由x₁，x₂∈[a，b]时，

g(

x

1

)−g(

x

2

)

x

1

−

x

2

＞0恒成立说明函数在[a，b]上为增函数，求出a为0，b等于5，则b-a的最大值可求．

∵a，b∈[-1，5]，且x₁，x₂∈[a，b]，

∴a＜b，

∵

g(x1)−g(x2)

x1−x2＞0恒成立，

∴g（x）在区间[a，b]上单调第增，

∵函数f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=[1/3]x+1，g（x）=

f1(x)+f2(x)

2+

|f1(x)−f2(x)|

2，

∴g（x）=

f1(x)，x∈[−1，0]∪[3，5]

f2(x)，x∈[0，3]

当x∈[-1，0）时，g（x）=1-x，单调减；

当x∈[0，3]时，g（x）=[1/3]x+1，单调增；

当x∈[3，5]时，g（x）=x-1，单调递增．

∴a=0，b=5．

b-a的最大值为5-0=5．

故选：D．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查了恒成立问题，考查了数学转化思想方法，解得的关键是对题意的理解，是中档题．