Question

（2008•上海）已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为Pz，

Answer 1

解题思路：（1）（b，c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明P_z在圆C₁：（x-1）²+y²=1上；

（2）①求出虚根，虚根在定圆C：（x-m）²+y²=r²（m、r∈R，r＞0），推出c=-2mb+r²-m²，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②（b，c）是线段s上一点（非端点），实系数方程为x²+2bx-2mb+r²-m²=0，b∈（-m-r，-m+r）此时△＜0，求出方程的根P_z，可推出P_z在圆C上．

（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．

（1）由题意可得2b+c=0，

解方程x²+2bx-2b=0，得z＝−b±

−2b−b2 i

∴点Pz( −b，

−2b−b2 )或Pz( −b，−

−2b−b2 )，

将点P_z代入圆C₁的方程，等号成立，

∴P_z在圆C₁：（x-1）²+y²=1上

（2）当△＜0，即b²＜c时，

解得z＝−b±

c−b2i，

∴点Pz( −b，

c−b2 )或Pz( −b，−

c−b2 )，

由题意可得（-b-m）²+c-b²=r²，

整理后得c=-2mb+r²-m²，

∵△=4（b²-c）＜0，（b+m）²+c-b²=r²，∴b∈（-m-r，-m+r）

∴线段s为：c=-2mb+r²-m²，b∈[-m-r，-m+r]

若（b，c）是线段s上一点（非端点），

则实系数方程为x²+2bx-2mb+r²-m²=0，b∈（-m-r，-m+r）

此时△＜0，且点Pz(−b，

点评：

本题考点： 复数的基本概念；直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查复数的基本概念，直线和圆的方程的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．