证法一:
首先存在正交矩阵P使B = P^(-1)AP为对角阵,可知B的对角线上为A的特征值.
而实对称阵的特征值是实数,所以B为对角线上元素都为1或-1的对角阵.
易见这样的B是正交阵,于是A = PBP^(-1)为正交阵的乘积,仍为正交阵.
证法二:
A是实对称阵故特征值为实数.又已知特征值绝对值为1,故特征值均为1或-1.于是A²的特征值均为1.
而A²是实对称阵,可对角化,因此A²相似于E.即存在可逆矩阵P使A² = P^(-1)EP = E,于是A² = E.
A为实对称阵故其转置A' = A,我们得到A'A = E,即A为正交阵.