Question

在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做高斯函数，它表示数x的整数部分（即小于等于x的最大整数，如[3.15]=3，[0

Answer 1

解题思路：本填空题利用特殊值法解决，取a=2，由题意知，

f(x)−

1

2

＝

2

x

1+

2

x

−

1

2

是定义域R上的奇函数，且值域是（-[1/2]，[1/2]）；

∴f（-x）的值域也是（-[1/2]，[1/2]）；分x=0，x＞0，x＜0时讨论函数y的值即可．

由题意，g（x）=f（x）-[1/2]=

2x

1+2x−

1

2=1-[1

1+2x-

1/2]=[1/2]-[1

1+2x；f（-x）=

2−x

1+2−x-

1/2]=[1

1+2x−

1/2]；

∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函数．

又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0 ＜

1

1+2x＜ 1，∴−

1

2＜

1

1+2x−

1

2＜

1

2；

即 −

1

2＜g（-x）＜[1/2]．所以，−

1

2＜g（x）＜[1/2]．

当x=0时，g（x）=g（-x）=0，y=[g（x）]+[g（-x）]=0；

当x≠0时，若x＞0，则0＜g（x）＜[1/2]，-[1/2]＜g（-x）＜0，

∴y=[g（x）]+[g（-x）]=0+（-1）=-1，

若x＜0，则y=[g（x）]+[g（-x）]=（-1）+0=-1．

所以函数y的值域为{0，-1}．

故选A．

点评：

本题考点： 函数最值的应用；函数的值域．

考点点评： 本题用求值域来考查指数函数的性质，函数的奇偶性，函数取整问题，应该是有难度的小题．