Question

已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若当x∈[0，1）时，f（x）=a

Answer 1

解题思路：（1）由f（x）+f（-x）=0可知函数为奇函数，由f（x-1）=f（x+1），可得函数为周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行求值．

（2）利用指数函数的单调性，求g（x）的值域．

（1）∵f（x）+f（-x）=0

∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．

∵f（x-1）=f（x+1），∴f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，

∴f（0）=0，即b=-1．

又f(

3

2)＝f(−

1

2)＝−f(

1

2)＝1−

a＝

1

2，

解得a＝

1

4．

（2）当x∈[0，1）时，f（x）=a^x+b=（[1/4]）^x-1∈（-[3/4]，0]，

由f（x）为奇函数知，

当x∈（-1，0）时，f（x）∈（0，[3/4]），

∴当x∈R时，f（x）∈（-[3/4]，[3/4]），

设t=f（x）∈（-[3/4]，[3/4]），

∴g（x）=f²（x）+f（x）=t²+t=（t-[1/2]）²-[1/4]，

即y=（t-[1/2]）²-[1/4]∈[-[1/4]，[21/16]）．

故函数g（x）=f²（x）+f（x）的值域为[-[1/4]，[21/16]）．

点评：

本题考点： 函数的周期性；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题综合考查了函数奇偶性和周期性的应用，以及利用指数函数的单调性求函数的值域问题，综合性较强．