知识点1：二次函数的定义
一般地,如果,那么叫做的二次函数.
[注意]⑴二次函数中,x,y都是变量,是常数,自变量x的取值范围是全体实数,b,c可以是任意实数,但是不为0的实数；
⑵若,则变成,当时,是一次函数；当时,则为常数函数；
⑶判断一个函数是否是二次函数必须满足三个条件：①函数关系式必须是整式；②化简后自变量的最高次数必须为2；③化简后二次项的系数必须不为0；
知识点2：二次函数的图象
⑴二次函数中隐藏了一个重要条件为.
⑵二次函数的图象是一条轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线,对称轴与抛物线的交点叫抛物线的顶点；的顶点是坐标原点,对称轴是轴.
⑶若平行于轴的直线交抛物线于两点,由对称性可知,关于轴对称,线段的垂直平分线就是轴.
知识点3：描点法画二次函数的图象的步骤
⑴列表,一般以0为中心,选取自变量的值,为方便,一般取整数.
⑵描点,把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面直角坐标系内描出对应的点.
⑶连线,用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把各点连接起来.
[注意]⑴描点法画出的只是整个函数图象的一部分,由于自变量可取一切实数,所以图象是向两方无限延伸的；
⑵点越多,图象越精确；
⑶图象必须用平滑的曲线连接,不能产生尖点；
⑷二次函数的图象记作抛物线.
知识点4：二次函数的性质
⑴抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是轴.
⑵函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点当时,当时,随的增大而增大；当时,随的增大而减小；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点当时,当时,随的增大而减小；当时,随的增大而增大；
⑶顶点是坐标原点,对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
知识点5：二次函数的图象
⑴二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.
⑵二次函数的图象是由向上（或向下）平移得到的.
当时,二次函数向上平移个单位得到.
当时,二次函数向下平移个单位得到.
⑶二次函数的图象是由向左（或向右）平移得到的.
当时,二次函数向右平移个单位得到.
当时,二次函数向左平移个单位得到.
⑷二次函数的图象是由向左（或向右）平移个单位,然后向上（或向下）平移个单位得到的.对称轴为直线,顶点坐标为
⑸二次函数的一般形式可以通过配方法转化为顶点式：
因此抛物线的对称轴为；
顶点坐标为.
[注意]①的符号决定抛物线的开口方向：当时,开口向上；当时,开口向下；
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②几个不同的二次函数,若相同,则开口方向、大小、形状完全相同,只是顶点的位置不同,顶点决定抛物线的位置,抛物线的移动主要就看顶点的移动,平移与上、下、左、右移动的先后顺序无关.
③平行于轴（或重合）的直线记作.特别地,轴记作直线.
知识点6：二次函数图象的画法
⑴描点法,其步骤如下：
把二次函数化为的形式；
确定开口方向、对称轴和顶点坐标；
在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点画图.
[注意]若抛物线与轴有交点,最好选取交点描点,特别是画抛物线的草图时,应抓住以下五点：⑴开口方向；对称轴；⑶顶点；⑷与轴的交点了；⑸与轴的交点.
⑵平移法,其步骤如下：
①利用配方法把二次函数化为确定顶点；
②作出的图象；
③将抛物线的图象平移,使其顶点移到
知识点7：求抛物线的顶点、对称轴的方法
⑴公式法：,∴顶点是,对称轴是直线.
⑵配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.
⑶运用抛物线的对称性：由于抛物线是轴对称图形,所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
[注意]用配方法求得的顶点,可再用公式法或对称性进行验证.
知识点8：二次函数的性质
⑴抛物线中,的作用
①决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.
②和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
,故：①时,对称轴为轴；②（即、同号）时,对称轴在轴左侧；③（即、异号）时,对称轴在轴右侧.
③的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时,∴抛物线与轴有且只有一个交点（0,）：
ⅰ,抛物线经过原点;ⅱ,与轴交于正半轴；ⅲ,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则.
④几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式开口方向、对称性、函数极值对称轴顶点坐标
当时,开口向上,对称轴左侧随的增大而减小,对称轴右侧随的增大而增大,顶点为最低点,当取顶点横坐标时,取得顶点纵坐标为函数最小值；当时,开口向下,对称轴左侧随的增大而增大,对称轴右侧随的增大而减小,顶点为最高点,当取顶点横坐标时,取得顶点纵坐标为函数最大值.（轴）（0,0）
（轴）(0, )
(,0)
(,)
()
知识点9：用待定系数法求二次函数的解析式
⑴一般式：.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
⑵顶点式：.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
⑶交点式：已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式：.
知识点10：直线与抛物线的交点
⑴轴与抛物线得交点为(0, ).
⑵与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
⑶抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程的两个实数根.
抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
⑷平行于轴的直线与抛物线的交点
同⑶一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
⑸一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
⑹抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
知识点11：指定范围内二次函数的极值
求二次函数在指定范围内的最值,即二次函数自变量的取值范围受到某些限制时（此时函数图象仅为抛物线的一部分）,往往结合图象通过观察或计算这段抛物线端点处的函数值并与顶点处的函数值进行比较,以确定二次函数的最值.
如果自变量的取值范围是,那么首先要看是否在自变量的取值范围之内.
若在此范围之内,则当时,.
若不在此范围内,则需考虑函数在范围内的增减性：
若在内时,函数随的增大而增大,
若在内时,函数随的增大而减小,