过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A,B两点,若FA=2FB,求椭圆的离心率.

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  • 方法一:A(x1,y1),B(x2,y2)由题:y1/y2=-2

    -2-1/2=y1/y2+y2/y1=(y1平方+y2平方)/y1y2=(y1+y2)^2/y1y2-2

    (y1+y2)^2/y1y2=-1/2

    直线:x=√3/3y-c与椭圆联立化简得:(1/3a^2+1/b^2)y^2-2√3cy/3a^2+c^2/a^2-1=0

    用韦达得e=2/3

    方法二:分别从A、B向左准线作垂线AM、BN,垂足M、N,

    ∵倾斜角为60度,∴|AM|>|BN|,

    作BH⊥AM,垂足H,

    |AH|=|AM|-|BN|,

    根据椭圆第二定义,|AF|/|AM|=e,

    |BF|/|BN|=e,

    |AF|/|BF|=|AM|/|BN|=2,

    |MH|=|BN|,

    |AM|=2|MH|,

    ∴H是AM的中点,

    BH是AM的垂直平分线,

    〈MAB=〈AFX=60°,

    ∴△AMB是正△,

    |AB|=|AM|,

    |AF|/|BF|=2,

    |AF|/|AB|=2/3,

    ∴离心率e=|AF|/|AM|=|AF|/|AB|=2/3.,