Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边C=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两根．

Answer 1

解题思路：根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，进而求出△ABC的面积与较小锐角的正弦值．

（1）∵a，b是方程x²-mx+2m-2=0的解，

∴a+b=m，ab=2m-2，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，a²+b²=c²，

而a²+b²=（a+b）²-2ab，∵c=5，

∴a²+b²=（a+b）²-2ab=25，

即：m²-2（2m-2）=25，解得，m₁=7，m₂=-3，

∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．

∴a+b=m＞0，m=-3不合题意，舍去．

∴m=7，

（2）△ABC的面积=[1/2]ab，

∵a+b=m=7，a²+b²=（a+b）²-2ab=25，解得：ab=12，

故）△ABC的面积=[1/2]ab=[1/2]×12=6；

另∵m=7，a，b是方程的两个根，

∴ab=[2m−2/1]=12，

∴△ABC的面积=[1/2]ab=[1/2]×12=6；

（3）当m=7时，原方程为x²-7x+12=0，

解得，x₁=3，x₂=4，

不妨设a=3，则sinA=[a/c]=[3/5]，

∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为[3/5]．

点评：

本题考点： 根与系数的关系；三角形的面积；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题考查了根与系数的关系及锐角三角形的定义，难度较大，主要掌握利用一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解．