解题思路：（1）根据椭圆
M：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
＝1(a＞b＞0)
的离心率
e＝
1
2
，左准线方程为x=-4，建立方程组，求出几何量，即可求出椭圆M的标准方程；
（2）①设直线AB：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则两切线方程为
x
1
x
4
+
y
1
y
3
＝1
，
x
2
x
4
+
y
2
y
3
＝1
，可得交点P的纵坐标，进而求出P的横坐标，即可得出结论；
②直线AB：x=my+1，代入
x
2
4
+
y
2
3
＝1
，利用韦达定理，求出弦长|AB|，求出P（4，-3m）到直线AB的距离，可得△ABP面积，换元，即可求出△ABP面积的最小值．
（1）∵椭圆M：
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝
1
2，左准线方程为x=-4，
∴
c
a＝
1
2
a2
c＝4，∴a=2，c=1，
∴b=
a2−c2=
3，
∴椭圆M的标准方程为
x2
4+
y2
3＝1；
（2）①证明：设直线AB：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
则两切线方程为
x1x
4+
y1y
3＝1，
x2x
4+
y2y
3＝1，
可得交点P的纵坐标为y=
3(x2−x1)
x2y1−x1y2=
3(my2−my1)
(my2+1)y1−(my1+1)y2=-3m，
上式作差可得[mx/4+
y
3＝0，
y=-3m代入，可得x=-4，
∴l1，l2的交点P在一条定直线x=-4上；
②P（4，-3m）到直线AB的距离d=
|−3m2−4+1|
1+m2]，
直线AB：x=my+1，代入
x2
4+
y2
3＝1，可得（3m2+4）y2+6my-9=0，
∴y1+y2=-[6m
3m2+4，y1y2=
9
3m2+4，
∴|AB|=
1+m2•|y1-y2|=
12(m2+1)
3m2+4
∴△ABP面积为S=
1/2]|AB|d=
18(
m2+1)3
3(m2+1)+1，
设t=
m2+1≥1，则S=
18t3
3t2+1=[18
3/t+
1
t3]，
令u=[1/t]∈（0，1]，则S=[18
3u+u3，在u∈（0，1]上单调递减，
∴当u=1，则t=1，即m=0时，△ABP面积的最小值为
9/2]．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，难度大．