Question

设函数f（x）=ax2+bx+1（a≠0、b∈R），若f（-1）=0，且对任意实数x（x∈R）不等式f（x）≥0恒成立．

Answer 1

解题思路：（1）由f（-1）=0 求得b=a+1．再根据△≤0，且a＞0，求得a和b的值．

（2）由于g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1的图象的对称轴方程为x=[k−2/2]，结合题意可得 [k−2/2]≤-2，或 [k−2/2]≥2，从而求得k的范围．

（1）由题意可得f（-1）=a-b+1=0，即b=a+1．

再根据△=b²-4a=（a-1）²≤0，且 a＞0，

求得a=1，b=2．

（2）由（1）可得f（x）=x²+2x+1，故g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1的图象的对称轴方程为x=[k−2/2]．

再由当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，可得 [k−2/2]≤-2，或 [k−2/2]≥2，

求得k≤-2，或 k≥6．

点评：

本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．

考点点评： 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属基础题．