一元二次方程根与系数关系专项训练
1、如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1、x2,那么x1+x2= ,x1•x2= .
2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根,那么：x1+x2= ；x1•x2= ； ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜= .
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 .
4、如果关于x的一元二次方程x2+ x+a=0的一个根是1－ ,那么另一个根是 ,a的值为 .
5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2,那么k= .
6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等,则m= .
7、一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)的两根为0和－1,则q∶p= .
8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数,则m= .
9、已知关于x的一元二次方程(a2－1)x2－(a+1)x+1=0两根互为倒数,则a= .
10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2,且x1+x2=－2,则m= ,(x1+x2) = .
11、已知方程3x2+x－1=0,要使方程两根的平方和为 ,那么常数项应改为 .
12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为 .
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0,则以α、β为根的一元二次方程为 .(其中二次项系数为1)
14、已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x+m2=0.若方程的两根互为倒数,则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数,则m= .
15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α= ；β= ；m= .
16、已知关于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0,则k=
17、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2,且 ,则m= .
18、关于x的方程2x2－3x+m=0,当 时,方程有两个正数根；当m 时,方程有一个正根,一个负根；当m 时,方程有一个根为0.
19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同,则m= .
20、求作一个方程,使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍,则所求的方程为 .
21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是 .
22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5,求方程的另一根及m的值.
23、已知2+ 是x2－4x+k=0的一根,求另一根和k的值.
24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+ 的无理数(A、B均为有理数),
那么另一个根必是A－ .
25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大?
26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
x31x2+x1x32
27、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
(x21－x22)2
29、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
x1－x2
30、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
31、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
x51•x22+x21•x52
32、求一个一元二次方程,使它的两个根是2+ 和2－ .
33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数.
34、造一个方程,使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3)相反数；(4)倒数.
35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17.
36、已知关于x的方程2x2－(m－1)x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1,求m的值及两个根.
37、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根,并且满足 ,求m的值.
38、已知一元二次方程8x2－(2m+1)x+m－7=0,根据下列条件,分别求出m的值：
(1)两根互为倒数；
(2)两根互为相反数；
(3)有一根为零；
(4)有一根为1；
(5)两根的平方和为 .
39、已知方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个相同的根,求m的值及这个相同的根.
40、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,
求a的值.
41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b、c的值.
42、设：3a2－6a－11=0,3b2－6b－11=0且a≠b,求a4－b4的值.
43、试确定使x2+(a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值.
44、已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求
当k取何整数时,方程有两个整数根.
45、已知：α、β是关于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根,求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值.
46、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根,求常数p、q的值.,
47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根,且x1－y1=2,x2－y2=2,求m、n的值.
48、关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根,x2+2(a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根.求a的整数值.
49、关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m的值.
50、已知：α、β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根.
(1)若m为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值；
(2)若α2+β2=6时,求m的值.
51、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等,方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍.
求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根.
52、关于x的方程 =0,其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长.
(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；
(2)若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长.
53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2),在数轴上,
表示x2的点在表示x1的点的右边,且相距p+1,求p的值.
54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β,且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根,求a、b、c的关系式.
55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β,那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?
56、已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3,方程x2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0).求
证：对任意实数k,方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根.
57、(1)方程x2－3x+m=0的一个根是 ,则另一个根是 .
(2)若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m,n应满足 .
58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
x2+3x+1=0；
59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
3x2－2x－1=0；
60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
－2x2+3=0；
61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积
2x2+5x=0.
62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2,求它的另一个根及m的值.
63、已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2,求它的另一个根及t的值.
64、设x1,x2是方程3x2－2x－2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
(1)(x1－4)(x2－4)；
(2)x13x24+x14x23；
(3) ；
(4)x13+x23.
65、设x1,x2是方程2x2－4x+1=0的两个根,求｜x1－x2｜的值.
66、已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2,方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7, 求m和n的值.
67、以2,－3为根的一元二次方程是 ( )
A.x2+x+6=0 B.x2+x－6=0
C.x2－x+6=0 D.x2－x－6=0
68、以3,－1为根,且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )
A.3x2－2x+3=0 B.3x2+2x－3=0
C.3x2－6x－9=0 D.3x2+6x－9=0
69、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( )
A.x2+2x－3=0 B.x2－2x+3=0
C.x2+2x+3=0 D.x2－2x－3=0
70、以－3,－2为根的一元二次方程为 ,
以 , 为根的一元二次方程为 ,
以5,－5为根的一元二次方程为 ,
以4, 为根的一元二次方程为 .
71、已知两数之和为－7,两数之积为12,求这两个数.
72、已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a,b,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程 ,使它的两个根分别是：
(1)a+1.b+1
(2)
73、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm,面积为 cm2,求这个直角三角形斜边的长 .
74、在解方程x2+px+q=0时,小张看错了p,解得方程的根为1与－3；小王看错了q,解得方程的根为4与－2.这个方程的根应该是什么?
75、关于x的方程x2－ax－3=0有一个根是1,则a= ,另一个根是 .
76、若分式 的值为0,则x的值为 ( )
A.－1 B.3 C.－1或3 D.－3或1
77、若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则 ( )
A.m=0且n≥0 B.n=0且m≥0C.m=0且n≤0 D.n=0且m≤0
78、已知x1,x2是方程2x2+3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
(1)(2x1－3)(2x2－3)；
(2)x13x2+x1x23.
79、已知a2=1－a,b2=1－b,且a≠b,求(a－1)(b－1)的值.
80、如果x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根,则m= ,另一个根为 .
81、已知m2+m－4=0, ,m,n为实数,且 ,则 = .
82、两根为3和－5的一元二次方程是 ( )
A.x2－2x－15=0 B.x2－2x+15=0
C.x2+2x－15=0 D.x2+2x+15=0
83、.设x1,x2是方程2x2－2x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：
(1)(x12+2)(x22+2)；
(2)(2x1+1)(2x2+1)；
(3)(x1－x2)2.
84、.已知m,n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根,求2m2+3n2+2m的值.
85、已知方程x2+5x－7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数.
86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1,求证：2b2=9ac.
87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11,求m的值.
88、已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0.(1)证明：不论a取何值,这个方程总有两个不相等的 实数根；(2)a为何值时,方程的两根之差的平方等于16?
89、已知一元二次方程x2－10x+21+a=0.(1)当a为何值时,方程有一正、一负两个根?(2)此 方程会有两个负根吗?为什么?
90、已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积.
91、已知方程x2+ax+b=0的两根为x1,x2,且4x1+x2=0,又知根的判别式 =25,求a,b 的值.
92、已知一元二次方程8y2－(m+1)y+m－5=0.(1)m为何值时,方程的一个根为零?(2)m为何值时 ,方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m,使方程的两个相互为倒数.
93、当m为何值时,方程3x2+2x+m－8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2,另一个 根小于－2?
94、已知2s2+4s－7=0,7t2－4t－2=0,s,t为实数,且st≠1.求下列各式的值：
(1) ；;
(2) .
95、已知x1,x2是一元二次方程x2+ x+n=0的两个实数根,且x12+x22+(x1+x2)2=3, ,求m和n的值.
一元二次方程根与系数关系专项训练答案
1、 ；
2、 ；－2； ； ； ；
3、x2－5x+6=0
4、－1； －1
5、8
6、0
7、1
8、0
9、
10、－2；－8
11、－2
12、x2－5x+6=0
13、x2－3x+2=0
14、－1；－1－
15、－4；0；0
16、3
17、
18、
19、0或3
20、y2+6y－8=0
21、互为倒数
22、另一根为 ,m=23
23、另一根为2－ ,k=1
24、证明：∵A+ 是方程x2+px+q=0的根
∴(A+ )2+p(A+ )+q=0
即A2+B+pA+q=－(2A+p)
由于等式左边是有理数,而右边是无理数所以满足以下条件时,等式才成立：
∴p=－2A
设方程两根为x1、x2,
∴x1+x2=2A,又x2=A+
x2=2A－(A+ )=A－
25、(1)两根异号,正根绝对值大 (2)两根同号,两根都是正号
26、
27、13
28、
29、
30、
31、
32、x2－4x－2=0
33、3+ ,3－
34、(1)3y2－25y+50=0 (2)3y2－14y+8=0 (3)3y2+7y+2=0 (4)2y2－7y+3=0
35、(1) (2) (3)m=－2
36、m=－1,x1=0,x2=－1或m=11,x1=3,x2=2
37、
38、(1)m=15 (2) (3)m=7 (4)m=0 (5)m1=7,m2=－4
39、 时,根为－3；m=－4时,根为2
40、a=1
41、b=±7,c=10
42、
43、a=0或a=16
44、k=1
45、4
46、p=－1,q=－3
47、m=4,n=－29
48、a=－1
49、 或m=－3
50、(1)6 (2)m=－3;m=－2
51、证明：∵方程mx2－nx+2=0两根相等
∴m≠0且n2－8m=0 ①
由方程x2－4mx+3n=0的一根是另一根的3倍,故可设这两根为α、3α
则 ②
由①和②解得：m=2,n=4
因此,x2－(k+n)x+(k－m)=0即为
x2－(k+4)x+(k－2)=0
∵Δ=〔－(k+4)〕2－4(k－2)
=k2+4k+24
=(k+2)2+20
∵无论k为何值,都有(k+2)2≥0
∴(k+2)2+20>0,即Δ>0
因此方程x2－(k+n)x+(k－m)=0一定有实数根.
52、(1)证明：Δ=4m2－n2=(2m+n)(2m－n)
∵m、n分别是等腰三角形的腰和底边的长,∴2m+n>0；
又根据三角形三边的关系,有2m－n>0
∴Δ>0
因此方程 有两个不相等的实数根.
(2)16
53、
54、2b2=a(b+c)
55、28
56、证明：设方程2x2+5mx+3n=0的两根为2α、3α,则： 即
∴m2=n ①
∵方程x2－2nx+8m=0的两根相等
∴Δ=4n2－32m=0
即 n2－8m=0
①代入②,得：m4－8m=0
m(m2－8)=0
m(m－2)(m2+2m+4)=0
∴m=0或m－2=0或m2+2m+4=0(无实根)
∴m1=0,m2=2
∵mn≠0,∴m=0舍去,
当m=2时,n=4,α=1
对于方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0
Δ=(n+k－1)2－4m(k+1)
=(k+3)2－8(k+1)
=k2－2k+1=(k－1)2
无论k为何值时,都有(k－1)2≥0
∴方程mx2+(n+k+1)x+k+1=0恒有实根.
57、(1)3－ (2)n=0且m≠0
58、x1+x2=－3,x1•x2=1
59、 , ;
60、x1+x2=0,
61、x1+x2= ,x1 x2=0
62、 ,
63、 ,t=
64、(1) (2) (3) (4)
65、
66、m=7,n=12
67、B
68、C
69、D
70、x2+5x+6=0,2x2－ x+1=0,x2－25=0,4x2－17x+4=0
71、－3和－4
72、(1)2x2－7x+2 =0 (2)x2+7x+4=0
73、 cm
74、-1,3
75、－2,x=－3
76、B
77、C
78、(1)16
(2)
79、1
80、1,
81、－1
82、C
83、(1) ;(2)1 ;(3)3
84、37
85、7y2+5y－1=0
86、略
87、m=±13
88、
89、(1)a＜－21 (2)由于两个根的和为10＞0,所以此方程不会有两个负根
90、这个直角三角形的面积是6.
91、a=±3,b=－4
92、(1)当m=5时,方程的一个根为零 (2)m为－1时,方程的两个根互为相反数 (3)略
93、(1)当 时,方程有两个大于－2的根 (2)当m＜0时,方程有一个根大于－2,另一个根小于－2
94、(1)－2 (2)1
95、 ,n=－1