已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(实数a,b,c为常数)的图象过原点,且在x=1处的切线为直线y=−12.

3个回答

  • 解题思路:(1)根据函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的图象过原点,可得f(0)=c=0.求导函数,利用在x=1处的切线为直线

    y=−

    1

    2

    ,即可求得函数f(x)的解析式;

    (2)f(x)=x3-[3/2]x2,f′(x)=3x2-3x=3x(x-1),确定函数的单调性与极大值,将端点函数值与极大值比较,进行分类讨论,即可求得函数f(x)在区间[-m,m]上的最大值.

    (1)∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的图象过原点,

    ∴f(0)=c=0,

    求导函数可得:f′(x)=3x2+2ax+b,

    ∵在x=1处的切线为直线y=−

    1

    2.

    ∴f(1)=1+a+b=-[1/2],f′(1)=3+2a+b=0,

    ∴a=-[3/2],b=0,

    ∴f(x)=x3-[3/2]x2

    (2)f(x)=x3-[3/2]x2,f′(x)=3x2-3x=3x(x-1),

    令f′(x)>0,可得x<0或x>1;令f′(x)<0,可得0<x<1;

    ∴函数在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增;在(0,1)上单调递减,

    ∴函数在x=0处取得极大值0,

    令f(x)=x3-[3/2]x2=0,可得x=0或x=[3/2],

    ∴0<m<[3/2]时,f(m)<0,函数在x=0处取得最大值0;

    m≥[3/2]时,f(m)≥0,函数在x=m处取得最大值m3−

    3

    2m2.

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究曲线上某点切线方程.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与极值,解题的关键是明确函数的最值在极值处或端点处取得,注意数形结合思想的运用.