同余初步的学习

一：同余的概念

数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular

arithmetic；德文：Kongruenz）这个概念最初是高斯提出的。

同余符号

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余

记作

a ≡b

(mod

m)

读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。

比如

26

≡

14

(mod

12)

性质

1.

如果a

≡b

(mod

m)，那么

m

(a

−

b)，这里

m

(a

−

b)

表示

(a

−

b)

能被

m

整除

2.

如果a

≡b

(mod

m)，b

≡c

(mod

m),那么a

≡c

(mod

m)

3.

如果a

≡b

(mod

m)，c

≡d

(mod

m),那么a

+c ≡b +d

(mod

m)，a

c ≡b d

(mod

m)，a

c ≡b d

(mod

m)，a

c ≡b d

(mod

m)

4.

如果a

≡b

(mod

m)，那么a^n

≡

b^n

(mod

m)

另：求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个数对于模10同余。

同余关系是一种等价关系：

1反身性

；

2对称性

，则

，反之亦然.

3传递性

，

，则

；

如果

，

，则

1；2

特别地

二：习题分析与思考

例1：判定288和214对于模37是否同余？74与20呢？

解∵288-214=74=37*2

∴288≡214（mod37）

∵74-20=54而37不可被54除

∴74与20对于模37不同余，288和214对于模37同余。

我觉得这道题目只能算教科书上最最基本的题目，可是这道最最基本的题目也让我在这次的夏令营里小小地惊讶了一下，原因是什么？原因是我对新知识比较陌生，要慢慢地适应，这样就导致了当我看到“模37”时好好地楞了一家伙，然后在写“≡”的时候又几次三番地写成了“=”，实在是令人哭笑不得。从另外一个角度来说这道题目虽然简单，但是如果是给刚刚了解同余概念的人去做，嘿嘿，也不见得会做得快。我认为在做这种题目的时候一定要清空思想，别老是去想以前的那些知识，这样的结果就是越想越别扭，降低了做题的速度。所以我对这道题就一句话：玩的就是心跳。

例2：求418*814*1616/13得到的系数。

解：∵418≡2（mod13）

814≡8(mod13)

1616≡4（mod13）

∴418*814*1616≡2*8*4≡64≡12(mod13)

事实上我们学习的同余本身的概念并不繁复，也并不难人，可是它恰恰就是在计算上烦人，要的是你起码优秀，最好杰出，最最好完美的计算能力，在我们做作业都在用计算器代替小学时用嘴用脑用纸笔的时候，“计算能力”这4字似乎是被我们忽略了，于是在这块知识上计算能力差的一下子就被“示众”，想躲都躲不起来。从这道题里我们可以重新审视一下计算能力的重要性，重新注意一下被我们抛弃的草稿纸，重新照顾照顾曾经反应速度极快的脑子。那样我们就能更快地解开这道题目了。

例3：求143^89除以7的余数

解：∵143≡3（mod7）

∴143^89≡3^89（mod7）

由3^6≡3^4*3^2≡4*2≡1（mod7）

3^84≡（3^6）^14≡1^14≡1（mod7）

∴3^89≡3^84*3^4*3≡5（mod7）

∴143^89≡5（mod7）

做完这道题目我对这个知识点的感觉就是“转化，转化，再转化”也许是我们学的还是比较简单的东西，所以给的题目都没有什么大陷阱，大花头。正当得意之时下面一道题来了。

例4：求2^100+3^101+4^102的个位数字

解：∵2^100≡2^（4*25）≡16^25≡6^25≡6（mod10）

3^101≡3^（4*25）+1≡（81^25）*3≡（1^25）*3≡3（mod10）

4^102≡(4^100)(4^2)

≡6(mod10)

∴2^100+3^101+4^102≡6+3+6≡5（mod10）

∴2^100+3^101+4^102的各位数字为5

这道题目主要是要考计算能力，和上面几道题目不一样的是这道题的计算量大了许多，在写这么多“≡”的时候比较容易写出“=”来，而在接这种题目的时候眼睛也一定要盯仔细了，不然写错一个便是“一步错，步步错”。

三：结论

同余的只是现在还没有学多少，但是这里的几道题目已经充分体现了这块知识的难度，不过我们换一个角度想一想，这上面的几道题目是不是影射了我们现在计算能力的低下？我的回答是“是”，起码这是我的回答，因为一道题目原本不需要多少时间，仅仅因为我的计算能力不强，做题所需时间一下子多了许多。同余便是这样。而作为一个新知识，同于也开启了一扇新的大门，在我们原有、仅有的“=”定式的旁边凭空开创了一个新的领域————“≡”，这也是一件十分有意思的事。所以同余初步的学习告诉了我：学无止境，不能老是把自己先放在一个小框架里，因为知识是无穷无尽的，1+1?2！