Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||PA|-|PB||=k，则动点P的轨迹为双曲线；

Answer 1

①因为双曲线的定义中要求k＜|AB|故①不成立

②设定圆C的方程为x ²+y ²=9，点A（3，0），B（a，b），点P（x，y），

则由

OP =

1

2

OA +

1

2

OB 得动点P为动弦AB的中点，所以有

x=

a+3

2

y=

b

2 ⇒

a=2x-3

b=2y

又因为点B在圆上所以有（2x-3） ²+（2y） ²=9

即动点P的轨迹为圆．所以②为假命题．

③先把抛物线转化为标准形式y ²=

1

a x，a＞0，2p=

1

a ，

p

2 =

1

4a ，焦点坐标是 (

1

4a ，0) ；

a＜0，2p=-

1

a ，

p

2 =-

1

4a ，焦点坐标是 (

1

4a ，0) ；③为真命题．

④因为曲线

x 2

16 -

y 2

9 =1 的焦点为（5，0）（-5，0）．

而由曲线

x 2

35-λ +

y 2

10-λ =1 中λ＜35且λ≠10知表示的是a ²=35-λ，b ²=10-λ，c ²=25，的椭圆，所以焦点为（5，0）（-5，0）．即④为真命题．

故答案为 ③④．