Question

求二重积分e^[(x-y)/(x+y)]dxdy,积分区域为x=0,y=0,x+y=1所围成的区域

Answer 1

这题要用到二重积分的换元法……

设x-y=u,x+y=v,得x=(v+u)/2,y=(v-u)/2,则

在此变换下,积分区域边界曲线化为了

v=1,u=2v,u=-v,新的积分区域为

D'={(u,v)|0≤v≤1,-v≤u≤2v}

其雅克比行列式J=

|αx/αu αx/αv|

|αy/αu αy/αv|

=

|1/2 1/2|

|-1/2 1/2|

=-1/2

所以

∫∫(D)e^[(x-y)/(x+y)]dxdy=∫∫(D')e^(u/v)*(-1/2)dudv

=(-1/2)∫(0~1)dv∫(-v~2V)e^(u/v)du

=(1/e-e^2)/4