Question

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原

Answer 1

解题思路：（1）由题意求出平行方程，得到椭圆与双曲线的焦点坐标，求出椭圆与双曲线中a，b，然后求椭圆与双曲线的方程；

（2）设出抛物线上任意一点Q的坐标，点P（a，0）求出|PQ|，利用|PQ|≥|a|恒成立，求a的取值范围．

（1）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），

将M（1，2）代入方程得p=2

∴抛物线方程为：y²=4x

由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（-1，0）₁，F₂（1，0），

∴c=1

对于椭圆，2a＝|MF1|+|MF2|＝

(1+1)2+22+

(1−1)2+4＝2+2

2

∴a＝1+

2⇒a2＝3+2

2，b2＝a2−c2＝2+2

2

所以椭圆方程为

x2

3+2

2+

y2

2+2

点评：

本题考点： 圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，三种曲线的求法，两点间的距离公式的应用，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查转化思想．