Question

实数k为何值时，方程x2+（2k-1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．

Answer 1

解题思路：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于k的二次函数，求出取得最小值时k的值，再利用根的判别式进行验证．

设方程的两根分别为x₁和x₂，由一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2＝−(2k−1)，x1x2＝1+k2，

令y=

x21

+x22，则y=(x1+x2)2−2x1x2=（2k-1）²-2（1+k²）=2k²-4k-1=2（k-1）²-3，

其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，

但当k=1时，一元二次方程的判别式为△=-7＜0，

所以没有满足△≥0的k的值，

所以该题目无解．

点评：

本题考点： 根与系数的关系；根的判别式．

考点点评： 本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根．