已知抛物线 : 的焦点为 ,若过点 且斜率为 的直线与抛物线相交于 两点,且 .

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  • 已知抛物线

    的焦点为

    ,若过点

    且斜率为

    的直线与抛物线相交于

    两点,且

    (1)求抛物线

    的方程;

    (2)设直线

    为抛物线

    的切线,且

    ,

    上一点,求

    的最小值.

    (1)

    ;(2)-14.

    试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、向量的数量积等基础知识,考查学生的数学结合思想、分析问题解决问题的能力、转化能力.第一问,由抛物线的标准方程得焦点F的坐标,再利用点斜式写出直线方程,由于它与抛物线相交,所以直线方程与抛物线方程联立,消参,利用韦达定理、得到M、N的两个横坐标的和,解出P的值,从而得到抛物线的标准方程;第二问,先设出直线

    的方程,由于

    是抛物线的切线,所以2个方程联立,得到x的方程后,方程的判别式等于0,解出b的值,从而得到直线方程,设出p点坐标,结合第一问得出

    坐标,利用向量的数量积化简表达式,使之转化为关于m的式子,再利用配方法求最值.

    试题解析:(1)由题可知

    ,则该直线方程为:

    , 1分

    代入

    得:

    ,设

    ,则有

    3分

    ,∴

    ,即

    ,解得

    ∴抛物线的方程为:

    . 5分

    (2)设

    方程为

    ,代入

    ,得

    因为

    为抛物线

    的切线,∴

    解得

    ,∴

    7分

    由(1)可知:

    ,则

    所以