设函数f(x)在x=0的邻域内具有三阶导数,且limx→0(1+x+f(x)x)1x=e3

1个回答

  • 解题思路:(1)将元极限化简,利用函数导数的性质,即可求出

    (2)利用洛必达法则即可求出.

    (1)因为

    lim

    x→0(1+x+

    f(x)

    x)

    1

    x=e3,

    所以:

    lim

    x→0

    ln(1+x+

    f(x)

    x)

    x=3

    由于分母极限为0,所以

    lim

    x→0ln(1+x+

    f(x)

    x)=0,

    即:

    lim

    x→0(x+

    f(x)

    x)=0

    lim

    x→0

    f(x)

    x=0,

    又因为 f(x)在x=0连续,则

    lim

    x→0f(x)=f(0)=0

    f′(0)=

    lim

    x→0

    f(x)-f(0)

    x-0=0,

    由:

    lim

    x→0

    ln(1+x+

    f(x)

    x)

    x=3

    得:

    lim

    x→0

    ln(1+x+

    f(x)

    x)

    x=

    lim

    x→0

    x+

    f(x)

    x

    x=

    lim

    x→0(1+

    f(x)

    x2)=3,

    所以:

    lim

    x→0

    f(x)

    x2=2,

    即:

    lim

    x→0

    f′(x)

    2x=2,

    由此得:f″(0)=

    lim

    x→0

    f′(x)-f′(0)

    x-0=4

    (2)

    lim

    x→0(1+

    f(x)

    x)

    1

    x=e

    点评:

    本题考点: 复合函数的极限运算法则.

    考点点评: 本题主要考查复合函数的极限的运算,属于基础题.