解题思路:(1)将元极限化简,利用函数导数的性质,即可求出
(2)利用洛必达法则即可求出.
(1)因为
lim
x→0(1+x+
f(x)
x)
1
x=e3,
所以:
lim
x→0
ln(1+x+
f(x)
x)
x=3
由于分母极限为0,所以
lim
x→0ln(1+x+
f(x)
x)=0,
即:
lim
x→0(x+
f(x)
x)=0
lim
x→0
f(x)
x=0,
又因为 f(x)在x=0连续,则
lim
x→0f(x)=f(0)=0
f′(0)=
lim
x→0
f(x)-f(0)
x-0=0,
由:
lim
x→0
ln(1+x+
f(x)
x)
x=3
得:
lim
x→0
ln(1+x+
f(x)
x)
x=
lim
x→0
x+
f(x)
x
x=
lim
x→0(1+
f(x)
x2)=3,
所以:
lim
x→0
f(x)
x2=2,
即:
lim
x→0
f′(x)
2x=2,
由此得:f″(0)=
lim
x→0
f′(x)-f′(0)
x-0=4
(2)
lim
x→0(1+
f(x)
x)
1
x=e
点评:
本题考点: 复合函数的极限运算法则.
考点点评: 本题主要考查复合函数的极限的运算,属于基础题.