Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=−23和x=1时都取得极值．

Answer 1

解题思路：（1）利用导数与极值之间的关系建立方程求解．（2）利用导数通过表格求函数的最大值和最小值．（3）不等式恒成立，实质是求f（x）在[-1，2]的最大值．

（1）f′（x）=3x²+2ax+b…1

因为函数f（x）在x=-[2/3]和x=1取到极值，即f′（-[2/3]）=0，f′（1）=0．

所以，f′（-[2/3]）=[12/9−

4

3a+b＝0，f′（1）=3+2a+b=0

解得 a=-

1

2]，b=-2…3

（2）由（1）可得f（x）=x³-[1/2]x²-2x+c

x -1 （-1，-[2/3]） -[2/3] （-[2/3]，1） 1 （1，2） 2

f'（x） + 0 - 0 +

f（x） [1/2]+c 递增 +c 递减 -[3/2]+c 递增 2+c所以，在[-1，2]上f_min（x）=f（1）=-[3/2]+c，f_max（x）=f（2）=2+c…7

（3）要使f（x）＜c²在x∈[-1，2]恒成立，只需f_max（x）＜c²，即2+c＜c²

解得 c＜-1或c＞2…10

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题的考点是函数的极值与导数的关系，以及利用导数求函数的最大值和最小值问题．