Question

（2012•济南二模）已知椭圆的焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且

Answer 1

解题思路：（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得

2

b

2

a

=3，又a²-b²=1，由此可求椭圆方程；

（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的径R，则△F₁MN的周长=4a=8，

S

△

F

1

MN

＝

1

2

（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，因此

S

△

F

1

MN

最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F₁MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．

（1）设椭圆方程为

x2

a2+

y2

b2=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…（1分）

由|PQ|=3，可得

2b2

a=3，…（2分）

又a²-b²=1，解得a=2，b=

3，…（3分）

故椭圆方程为

x2

4+

y2

3=1…（4分）

（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的径R，

则△F₁MN的周长=4a=8，S△F1MN＝

1

2（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R

因此S△F1MN最大，R就最大，…（6分）

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由

x＝my+1

x2

4+

y2

3＝1得（3m²+4）y²+6my-9=0，…（8分）

得y1＝

−3m+6

m2+1

3m2+4，

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出S△F1MN最大，R就最大是关键．