Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B的坐标是（0，2），过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC

Answer 1

解题思路：（1）利用两角相等得出三角形相似；

（2）设出点A，利用一次函数的性质，设出BC的解析式，求得斜率，进一步得出CD、DE、AB的解析式，结合EA=3AC得出结论；

（3）由（2）得出点E坐标，设出EF解析式，求得点F坐标，进一步得出EF即可．

（1）证明：∵BC⊥AB，CD⊥BC，DE⊥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

∴△CBA∽△EDC；

（2）设C点的坐标为（a，0），点B的坐标（0，2），

设BC的解析式为：y=kx+2

则：ak+2=0

k=-[2/a]

∴CD的斜率=[a/2]，

设CD的解析式为：y=[a/2]+b

把C点坐标代入得0=[a/2]•a+b，b=-[1/2]a²，

则：D点的坐标为：（0，-[1/2]a²）

又∵DE∥BC，

∴设DE的解析式为y=-[2/a]x-[1/2]a²，

当y=0时，0=-[2/a]x-[1/2]a²x=-[1/4]a³，

则E点的坐标：（-[1/4]a³，0）

又∵AB∥CD

∴设AB的解析式为：y=[a/2]x+2，

当y=0时，0=[a/2]x+2，x=-[4/a]，

则A点的坐标：（-[4/a]，0）

∵EA=3AC，所以E点必在A点的左边

AE=|-[1/4]a³|-|-[4/a]=[1/4]a³-[4/a]=

a4−16

4a，

AC=|-[4/a]|+a=[4/a]+a=

a2+4

a，

∴

a4−16

4a=

a2+4

a，

a⁴-16=12（4+a²），

a⁴-12a²

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．

考点点评： 此题综合考查三角形相似的判定与性质，一次函数的实际运用，勾股定理的运用，注意图形与数据结合解决问题．