Question

已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离是5，求抛物线的方程及m的值．

Answer 1

分三种情况加以讨论

（1）当抛物线焦点在x轴正半轴上时，设其方程为y ²=2px（p＞0）

代入A点坐标，得2pm=9…①

∵抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离为5

∴m+

p

2 =5…②

将①②两式联解得：m=

1

2 、p=9或m=

9

2 、p=1，

相应的抛物线方程为y ²=18x和y ²=2x；

（2）当抛物线焦点在x轴负半轴上时，设其方程为y ²=-2px（p＞0）

代入A点坐标，得-2pm=9…③

∵抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离为5，∴-m+

p

2 =5…④

将③④两式联解得：m=-

1

2 、p=9或m=-

9

2 、p=1，

相应的抛物线方程为y ²=-18x和y ²=-2x；

可得m=-

1

2 或m=

9

2 ，相应的抛物线方程为y ²=-18x或y ²=-2x；

（3）当抛物线焦点在y轴上时，设其方程为x ²=-2qy（q＞0）

将点A（m，-3）代入方程，得m ²=6q…③

∵抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离为5

∴3+

q

2 =5解之得q=4，代入③得m= ±2

6

此时抛物线的方程为x ²=-8y，

综上所述，抛物线方程为y ²=18x，m=

1

2 ；或抛物线方程为y ²=2x，m=

9

2 ；或抛物线方程为y ²=-18x，m=-

1

2 ；或抛物线的方程为y ²=-2x，m=

9

2 ；或抛物线的方程为x ²=-8y，m= ±2

6 ．