Question

函数f（x）在[0,1]上连续,且在（0,1）上可导,f（0）=1,f（1）=0,证明在（0,1）上至少存在一点q,使得

Answer 1

反证法,假定在[0,1]有两个点a,b(a0.5

根据拉格朗日中值定理,在(a,b)中存在点c使得f(b)-f(a)=(b-a)*f'(c)

即有：|f(b)-f(a)|=(b-a)*|f'(c)|>0.5

已知|f'(c)|0.5 （后面要用这个结论）

再两次利用拉格朗日中值定理：

在(0,a)中存在d使得：f(a)-f(0)=a*f'(d)

在(b,1)中存在e使得：f(1)-(b)=(1-b)*f'(e)

两式相加并利用f(0)=f(1)得：f(a)-f(b)=a*f'(d) + (1-b)*f'(e)

根据绝对值不等式得：|f(a)-f(b)|≤a*|f'(d)| + (1-b)*|f'(e)|

因为|f'(d)|和|f'(e)|都