Question

设函数f(x)在[0,1]上可导,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明：必存在一点ζ在[0,1]上,使

Answer 1

令g(x)=(x^2)f'(x),由f(x)在[0,1]上可导,在(0,1)内二阶可导可知g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导.先对f(x)使用罗尔定理知,存在η属于(0,1),使得f'(η)=0.这样可以发现,g(0)=g(η)=0,因此再对g(x)使用罗尔定理,存在ζ属于(0,η),使得g'(ζ)=0,即2ζf'(ζ)+ζ^2f''(ζ)=0,由于ζ≠0,所以有2f′(ζ)+ζf″(ζ)=0.