解题思路：令F（x）=f（x）-x，对F（x）在
[
1
2
，1]
上利用零点定理可得F（η）=0；再对F（x）在区间[0，η]上利用罗尔中值定理可得F′（ξ）=0，从而证得结论．
令F（x）=f（x）-x，则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且
F(
1
2)=f(
1
2)-
1
2=
1
2，
F（1）=f（1）-1=-1，
故对F（x）在[
1
2，1]上利用零点定理可得，
∃η∈(
1
2，1)，使得F（η）=0．
又因为F（0）=f（0）-0=0，
故对F（x）在区间[0，η]上利用罗尔中值定理可得，
至少存在一点ξ∈（0，η）⊂（0，1），使得F′（ξ）=0，
即：f′（ξ）=1．
点评：
本题考点： 罗尔中值定理
考点点评： 本题主要考察了利用连续函数的零点存在定理证明函数根的存在性以及利用罗尔中值定理证明导函数根的存在性，难度系数适中．零点存在定理以及罗尔中值定理是常考知识点，需要熟练掌握．