Question

已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．

Answer 1

（1）令x=-1，y=1，则由已知f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）

∴f（0）=-2

（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1）

又∵f（0）=-2

∴f（x）=x ²+x-2

（3）不等式f（x）+3＜2x+a即x ²+x-2+3＜2x+a

也就是x ²-x+1＜a．由于当 0＜x＜

1

2 时，

3

4 ＜ x 2 -x+1＜1 ，又x ²-x+1= (x-

1

2 ) 2 +

3

4 ＜a 恒成立，

故A={a|a≥1}，g（x）=x ²+x-2-ax=x ²+（1-a）x-2 对称轴x=

a-1

2 ，

又g（x）在[-2，2]上是单调函数，故有

a-1

2 ≤-2，或

a-1

2 ≥2 ，

∴B={a|a≤-3，或a≥5}，C _RB={a|-3＜a＜5}

∴A∩C _RB={a|1≤a＜5}．