设A为n阶矩阵,|A|≠0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ,则(A*)2+E必有特征值______

1个回答

  • 解题思路:根据矩阵A的特征值求出伴随矩阵A*的特征值,而单位矩阵肯定有特征值1,然后再根据特征值的定义,就可以求出(A*2+E的特征值了.

    假设λ是A的任意一个特征值,其对应的特征向量为x,

    则由|A|≠0知λ≠0,且Ax=λx (x≠0),得:

    A−1x=

    1

    λx,

    于是,|A|A−1x=

    |A|

    λx,

    而:|A|A-1=A*

    则:A*x=

    |A|

    λx,

    于是:(A*)2x=(

    |A|

    λ)2x,

    有:[(A*)2+E]x=[(

    |A|

    λ)2+1]x,

    从而:[(A*2+E]必有特征值(

    |A|

    λ)2+1.

    点评:

    本题考点: 矩阵的特征值和特征向量的求解.

    考点点评: 熟悉矩阵特征值的定义和伴随矩阵域逆矩阵的性质,就能较快解决此问题.