假设λ是A的任意一个特征值,其对应的特征向量为x,
则由|A|≠0知λ≠0,且Ax=λx (x≠0),得:
A−1x=
1
λx,
于是,|A|A−1x=
|A|
λx,
而:|A|A-1=A*,
则:A*x=
|A|
λx,
于是:(A*)2x=(
|A|
λ)2x,
有:[(A*)2+E]x=[(
|A|
λ)2+1]x,
从而:[(A*)2+E]必有特征值(
|A|
λ)2+1.
假设λ是A的任意一个特征值,其对应的特征向量为x,
则由|A|≠0知λ≠0,且Ax=λx (x≠0),得:
A−1x=
1
λx,
于是,|A|A−1x=
|A|
λx,
而:|A|A-1=A*,
则:A*x=
|A|
λx,
于是:(A*)2x=(
|A|
λ)2x,
有:[(A*)2+E]x=[(
|A|
λ)2+1]x,
从而:[(A*)2+E]必有特征值(
|A|
λ)2+1.