Question

已知：集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．

Answer 1

解题思路：（1）集合M中元素的性质，即有f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；

（2）根据f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；

（3）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．

（1）f（x）=

1/x]的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），

令[1/x+1=

1

x+1，整理得x²+x+1=0，△=-3＜0，

因此，不存在x∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，

所以f（x）=

1

x∉M；（4分）

（2）f（x）=lg

a

x2+1]的定义域为R，f（1）=lg[a/2]，a＞0，

若f（x）=lg[a

x2+1∈M，则存在x∈R使得lg

a

(x+1)2+1=lg

a

x2+1+lg

a/2]，

整理得存在x∈R使得（a²-2a）x²+2a²x+（2a²-2a）=0．

①若a²-2a=0即a=2时，方程化为8x+4=0，解得x=-[1/2]，满足条件：

②若a²-2a≠0即a∈（-∞，2）∪（2，+∞）时，

令△≥0，解得a∈[3-

5，2）∪（2，3+

5]，

综上，a∈[3-

5，3+

5]；（8分）

（3）f（x）=2^x+x²的定义域为R，

令2^x+1+（x+1）²=（2^x+x²）+（2+1），整理得2^x+2x-2=0，

令g（x）=2^x+2x-2，所以g（0）•g（1）=-2＜0，

即存在x₀∈（0，1）使得g（x）=2^x+2x-2=0，

亦即存在x₀∈R使得2^x+1+（x+1）²=（2^x+x²）+（2+1），

故f（x）=2^x+x²∈M． （12分）

点评：

本题考点： 元素与集合关系的判断．

考点点评： 本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．