Question

已知集合M是满足下列性质函数的f（x）的全体，在定义域D内存在x 0 ，使得f（x 0 +1）=f（x 0 ）+f（1）

Answer 1

（1）对于函数f（x）=

1

x ，D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）∈M，

则存在非零实数x ₀，使得

1

x 0 +1 =

1

x 0 +1，即 x 0 2 +x ₀+1=0，显然此方程无实数解，

∴f（x）∉M；

函数g（x）=x ²，D=R，若g（x）∈M成立，

则有 (x 0 +1) 2 = x 0 2 +1，解得x ₀=0，

∴g（x）∈M；

（2）由条件得：D=R，a＞0，由f（x）∈M知，

存在实数x ₀，使得lg

a

(x 0 +1) 2 +1 =lg

a

x 0 2 +1 +lg

a

2 ，

∴

a

(x 0 +1) 2 +1 =

a

x 0 2 +1 •

a

2 ，

化简得：（a-2） x 0 2 +2ax ₀+2a-2=0，

当a=2时，x ₀=-

1

2 ，符号题意；

当a≠2时，由△≥0得：4a ²-4（a-2）（2a-2）≥0，

即3-

5 ≤a≤3+

5 （a≠2），

综上所述，a的取值范围是[3-

5 ，3+

5 ]．